5.Pruebas estadísticas para números aleatorios

Los números pseudo-aleatorios necesitan satisfacer las propiedades estadísticas de los números aleatorios, esto es, los generados por una herramienta aleatoria idealizada y determinista.

Los números deben ser seleccionados de manera independiente, a partir de una distribución uniforme en el intervalo (0,1) y con un orden de secuencia aleatorio.

Para aceptar o rechazar la hipótesis de que el conjunto de datos generado sigue la distribución antes mencionada, se utilizan pruebas estadísticas de bondad de ajuste, estas pruebas se basan en comparar valores numéricos observados con valores numéricos esperados de la distribución.

Principalmente se utilizan las siguientes tablas: 

Kolmogorov-Smirnov: http://www4.ujaen.es/~mpfrias/TablasInferencia.pdf

Chi-Cuadrado: http://labrad.fisica.edu.uy/docs/tabla_chi_cuadrado.pdf

La prueba de Chi-cuadrado para probar uniformidad es definida a continuación:

La prueba de Kolmogorov-Smirnov también es utilizada para probar uniformidad:

Las pruebas más utilizadas para probar aleatoriedad son:

1. Prueba de promedios

2. Prueba de frecuencias

3. Prueba de series

4. Prueba de Kolmogorov-Smirnov

5. Prueba del Poker

Estos son algunos números aleatorios para realizar las pruebas antes mencionadas, son un extracto del libro guía Fundamentos Básicos de Simulación Industrial del profesor Javier Fernández.

4.Selección de parámetros en los generadores congruenciales

La generación de números pseudoaleatorios resulta ser indispensable en la simulación para modelar comportamientos de variables al azar, por lo tanto, se debe garantizar que la metodología de generación sea confiable, garantizando las propiedades de los números aleatorios.

El siguiente gráfico ilustra la manera de seleccionar los parámetros de los generadores congruenciales lineales para garantizar el periodo largo de la serie aleatoria, la independencia de los datos y la no correlación.

• a, b y m afectan el periodo y la autocorrelación.
• Un valor grande del módulo m permite obtener un periodo largo.
• Para que el cálculo de mod m sea eficiente, m debe ser una potencia de 2.
• Para b diferente de cero, el mayor periodo posible m se obtiene si y sólo si b y m no tienen factores comunes distintos de 1.
• Cada número primo que es factor de m es también factor de a-1.
• Si el entero m es un múltiplo de 4, a-1 debe ser múltiplo de 4.
• Para c, b y k enteros positivos, las condiciones se cumplen si m=2^k, a=4c+1 y b es impar.

3. Números aleatorios

Un número aleatorio es una variable aleatoria con distribución uniforme entre (0,1), esta tiene 2 propiedades básicas:

-Distribución uniforme entre 0 y 1.

-Los números generados poseen independencia estadística. 

En general, la esperanza de las observaciones es de 1/2 y la varianza de 1/12.

Para revisar cómo chequear la independencia estadística, se dejan estos dos recursos:

http://doestatistics.blogspot.com.co/2017/03/dde-analisis-de-residuales-y.html

http://doestatistics.blogspot.com.co/2017/02/comprobacion-de-la-adecuacion-del.html

Un generador de números aleatorios es un procedimiento que tiene las siguientes características:

-Uniformidad

-Independencia

-Reproducibilidad

-Periodo largo

-Eficiencia computacional

-Poco espacio de almacenamiento 

-Portabilidad

Un generador de números aleatorios no es el término correcto para definirlo, ya que un generador es un procedimiento matemático determinista, el término correcto es generador de números pseudoaleatorios. Existen tres métodos para obtener números aleatorios:

• Métodos manuales:
• Tablas, tómbolas, azar,
• Métodos mecánicos:
• Ruletas, ruedas
• Métodos digitales:
• Necesidad de muchos números
• Corporación RAND: con impulsos de sonido, pero…problemas de memoria
• Fórmulas recursivas (sensibles al valor inicial) Ideados por Von Newman

Para generar números pseudoaleatorios se puede recurrir a los siguientes métodos o procedimientos:

-Cuadrados centrales

-Productos centrales

-Métodos congruenciales: estos últimos son de tres formas:

El siguiente vídeo ilustra de manera general el proceso de generación de números pseudoaleatorios: