Introducción a los métodos numéricos y optimización

¿Qué son los métodos numéricos?

Los métodos numéricos constituyen unas técnicas o algoritmos mediante las cuales es posible obtener soluciones numéricas de un problema matemático en diversas áreas.

¿Para qué sirven los métodos numéricos?

1. Son herramientas poderosas para la solución de problemas (manejo de sistemas de ecuaciones grandes, manejo de no linealidades y solución de geometrías complicadas).
2. Posibilidad de solución de problemas mediante paquetes, o permite el propio diseño de programas
3. Medio para reforzar la comprensión de las matemáticas y su aplicación en un campo.

¿Qué problemas se pueden resolver con los métodos numéricos?

• Raíces de ecuaciones
• Sistemas de ecuaciones algebraicas lineales
• Problemas de optimización
• Ajuste de curvas
• Otros métodos de integración, diferenciación y ecuaciones diferenciales

Áreas posibles de aplicación de los métodos numéricos

• Transferencia de calor
• Operaciones unitarias
• Modelación de sistemas físicos y sociales
• Análisis de series de tiempo y comportamientos
• Problemas aplicados a la industria y a la economía

¿Qué es un modelo matemático?

Se define como una formulación o ecuación que expresa las características esenciales de un sistema físico o de un proceso en términos matemáticos. Consiste en la definición de una variable dependiente y n-números de variables independientes en su expresión. 

La variable Y es la característica que refleja el estado de un sistema, mientras que las variables X reflejan las propiedades de sistema en términos de dimensiones de tiempo o espacio, son todas las que actúan sobre el sistema.

Características de un modelo matemático

• Describe un proceso o sistema natural en términos matemáticos.
• Representa una idealización y una simplificación de la realidad. Es decir, ignora los detalles insignificantes del proceso y se concentra en manifestaciones esenciales.
• Finalmente, conduce a resultados reproducibles y, en consecuencia, llega a emplearse con la finalidad de predecir.

Soluciones analìticas y numéricas

1. Solución analítica: Se tiene un modelo matemático simple y se pueden aplicar técnicas matemáticas del calculo, trigonometría y otras, para encontrar la solución y saber cómo se comporta el modelo.  
2. Solución numérica: Para modelos complejos, con muchas variables, es difícil de encontrar su solución por vía analítica, se aplican métodos específicos los cuales encuentran un número aproximado de la solución.