Métodos numéricos y optimización: Búsqueda exhaustiva

Búsqueda Exhaustiva

Este método puede ser utilizado para resolver problemas donde el intervalo en el cual se encuentra el punto óptimo es conocido y es finito.

Si se definen dos puntos: un punto inicial y un punto final en el intervalo de incertidumbre donde se cree esta el óptimo, el método de búsqueda consiste en evaluar la función objetivo en un número predeterminado de puntos equiespaciados en este intervalo.

En general, si la función es evaluada en n-puntos equiespaciados en el intervalo que se denotará como Lo=punto final - punto inicial, entonces el punto óptimo que satisface la función se denotará como Xj.

Si la función es evaluada en todos los n-puntos simultáneamente, este método puede ser llamado método de búsqueda simultánea.

El siguiente es un ejercicio de ejemplo, que ayudará a entender mejor la aplicación de el método:

Hallar el mínimo de la función objetivo f(x)=x(x-1.5) en el intervalo [0,1], con un 10% de exactitud del valor.

En EXCEL se puede construir una herramienta simple que ayude con esta situación. Para ello, se deben generar varias posiciones clave: Exactitud del valor celda (B2), Valor de a celda (B3) y Valor de b celda (B4). estos serán los valores de entrada para el método.

Por otro lado en la fila 5, se generarán los títulos de los resultados que se esperan.

Tras realizar un pequeño programa en VBA, se consiguen los resultados para esta función.

Note por favor, que se requiere definir 4 variables,  la ubicación de los valores del error, a y b debe ser explícita y asignada por el valor de la celda a la que pertenece.

De igual forma, se requiere un ciclo FOR_NEXT para rellenar las columnas A, B y C con las soluciones de búsqueda.

En medio del ciclo se encuentra la función a la cual se le aplica el método de búsqueda. El método termina cuando alcanza el límite superior y es cuando se busca el máximo o el mínimo requerido para la función. Esto se puede lograr implementando dentro del código una función +max() o +min() que hallé dichos valores.

Ejercicios de método de bisección que se pueden resolver por método de búsqueda exhaustiva.

Introducción a los métodos numéricos y optimización

¿Qué son los métodos numéricos?

Los métodos numéricos constituyen unas técnicas o algoritmos mediante las cuales es posible obtener soluciones numéricas de un problema matemático en diversas áreas.

¿Para qué sirven los métodos numéricos?

1. Son herramientas poderosas para la solución de problemas (manejo de sistemas de ecuaciones grandes, manejo de no linealidades y solución de geometrías complicadas).
2. Posibilidad de solución de problemas mediante paquetes, o permite el propio diseño de programas
3. Medio para reforzar la comprensión de las matemáticas y su aplicación en un campo.

¿Qué problemas se pueden resolver con los métodos numéricos?

• Raíces de ecuaciones
• Sistemas de ecuaciones algebraicas lineales
• Problemas de optimización
• Ajuste de curvas
• Otros métodos de integración, diferenciación y ecuaciones diferenciales

Áreas posibles de aplicación de los métodos numéricos

• Transferencia de calor
• Operaciones unitarias
• Modelación de sistemas físicos y sociales
• Análisis de series de tiempo y comportamientos
• Problemas aplicados a la industria y a la economía

¿Qué es un modelo matemático?

Se define como una formulación o ecuación que expresa las características esenciales de un sistema físico o de un proceso en términos matemáticos. Consiste en la definición de una variable dependiente y n-números de variables independientes en su expresión. 

La variable Y es la característica que refleja el estado de un sistema, mientras que las variables X reflejan las propiedades de sistema en términos de dimensiones de tiempo o espacio, son todas las que actúan sobre el sistema.

Características de un modelo matemático

• Describe un proceso o sistema natural en términos matemáticos.
• Representa una idealización y una simplificación de la realidad. Es decir, ignora los detalles insignificantes del proceso y se concentra en manifestaciones esenciales.
• Finalmente, conduce a resultados reproducibles y, en consecuencia, llega a emplearse con la finalidad de predecir.

Soluciones analìticas y numéricas

1. Solución analítica: Se tiene un modelo matemático simple y se pueden aplicar técnicas matemáticas del calculo, trigonometría y otras, para encontrar la solución y saber cómo se comporta el modelo.  
2. Solución numérica: Para modelos complejos, con muchas variables, es difícil de encontrar su solución por vía analítica, se aplican métodos específicos los cuales encuentran un número aproximado de la solución.

Funciones básicas en EXCEL

La celda en EXCEL

Una celda en Excel es la intersección de una fila y una columna. Una celda puede contener texto, números, fecha, instrucciones, funciones u otros datos. También se puede combinar el cálculo con datos o instrucciones dispuestas en otras hojas del libro.

Fijar celdas en Excel: Para fijar celdas en Excel se debe añadir el carácter $ (F4) $A$1

• Si el carácter se ubica solo al lado izquierdo de la fila, se bloquea la fila pero no la columna (A$1)
• Si el carácter se ubica solo al lado izquierdo de la columna, se bloquea solo la columna no la fila ($A1)

Operadores matemáticos

Funciones en EXCEL

1. SUMA: La función SUMA, una de las funciones matemáticas y trigonométricas, suma valores. Puede sumar valores individuales, referencias o rangos de celda o una combinación de las tres. Por ejemplo:

=SUMA(A2:A10)

=SUMA(A2:A10, C2:C10)

2. SI: Comparaciones lógicas entre un valor y lo que se espera. Por esto, una instrucción SI puede tener dos resultados. El primer resultado es si la comparación es Verdadera y el segundo si la comparación es Falsa.

Por ejemplo, =SI(C2="Sí",1,2)

3. Si. Error: SIERROR(valor; valor_si_error)

La sintaxis de la función SI.ERROR tiene los siguientes argumentos:

Valor  Obligatorio:Es el argumento donde busca un error.

Valor_si_error: Obligatorio. Es el valor que se devuelve si la fórmula se evalúa como un error. Se evalúan los tipos de error siguientes: #N/A, #¡VALOR!, #¡REF!, #¡DIV/0!, #¡NUM!, #¿NOMBRE? o #¡NULO!.

4. BUSCARV o CONSULTARV, una de las funciones de buscar y de referencia, cuando necesite buscar elementos de una tabla o un rango por fila.

Hay cuatro partes de la información que necesita para crear la sintaxis de BUSCARV:

• El valor que desea buscar, también conocido como el valor de búsqueda.
• El rango donde se encuentra el valor de búsqueda. Recuerde que el valor de búsqueda debe estar siempre en la primera columna del rango para que BUSCARV funcione correctamente.
• El número de columna del rango que contiene el valor devuelto. Por ejemplo, si especifica B2: D11 como el rango, B se debe contar como la primera columna, C como la segunda y así sucesivamente.
• Opcionalmente, puede especificar VERDADERO si desea una coincidencia aproximada o FALSO si desea una coincidencia exacta del valor devuelto. Si no especifica nada, el valor predeterminado siempre será VERDADERO o la coincidencia aproximada.

5. Funciones matemáticas

Ejercicio

Con el fin de clasificar el sorgo, como materia prima utilizada en una industria procesadora de alimentos balanceados para animales, para un bache de 3 toneladas. La materia prima es clasificada de acuerdo a su composición proteica, como: óptima con una composición entre el 11 y 15%, aceptable con una composición entre el 10 y 7%, y pésima con una composición inferior al 6%. La materia prima clasificada como pésima, y cuya composición es superior al 4%, se realiza un mezclado con otros granos, para que finalmente sea clasificada como aceptable, y posteriormente, pueda ser utilizada en el proceso productivo.

En el siguiente vídeo se puede ver una aplicación de las diferentes funciones en EXCEL.

Diagramas de flujo

Definición

Un diagrama de flujo u organigrama es una representación diagramática que ilustra la secuencia de las operaciones que se realizarán para conseguir la solución de un problema. Estos diagramas de flujo desempeñan un papel vital en la programación de un problema y facilitan la comprensión de problemas complicados.

Es la presentación gráfica de sistemas, es una forma ampliamente utilizada como herramienta de  análisis,  ya que permite identificar aspectos relevantes de una manera rápida y simple.

El diagrama de flujo representa la forma más tradicional para especificar los detalles algorítmicos de un proceso.

Características y ventajas

• Es una representación gráfica de las secuencias de un proceso, presenta información clara, ordenada y concisa.
• Permite visualizar las frecuencias y relaciones entre las etapas indicadas.
• Se pueden detectar problemas, desconexiones, pasos de escaso valor añadido etc.
• Compara y contrasta el flujo actual del proceso contra el flujo ideal, para identificar oportunidades de mejora.
• Identifica los lugares y posiciones donde los datos adicionales pueden ser recopilados e investigados.
• Ayuda a entender el proceso completo.
• Permite comprender de forma rápida y amena los procesos. 

  Procedimiento

• Establecer el alcance del proceso a describir. De esta manera quedará fijado el comienzo y el final del diagrama.
• Identificar y listar las principales actividades/subprocesos que están incluidos en el proceso a describir y su orden cronológico.  Si el nivel de detalle definido incluye actividades menores, listarlas también.  
• Identificar y listar los puntos de decisión. 
• Construir el diagrama respetando la secuencia cronológica y asignando los correspondientes símbolos.
• Asignar un título al diagrama y verificar que esté completo y describa con exactitud el proceso elegido. 

Reglas de los diagramas de flujo

1. Deben escribirse de arriba hacia abajo, y/o de izquierda a derecha.
2. Los símbolos se unen con líneas, las cuales tienen en la punta una flecha que indica la dirección que fluye la información procesos
3. Se debe evitar el cruce de líneas, para lo cual se quisiera separar el flujo del diagrama a un sitio distinto, se pudiera realizar utilizando los conectores
4. No deben quedar líneas de flujo sin conectar
5. Todo texto escrito dentro de un símbolo debe ser legible, preciso, evitando el uso de muchas palabras.
6. Todos los símbolos pueden tener más de una línea de entrada, a excepción del símbolo final.
7. Solo los símbolos de decisión pueden y deben tener más de una línea de flujo de salida.

Simbología

Ejemplos

1.Realizar un diagrama de flujo en donde se pide la edad del usuario. Si es mayor de edad se debe indicar que lo es.

2.Realizar un diagrama de flujo en donde se pide a un sistema un número al azar entre 1 y 6, y se lanza un dado. Si ambos números son iguales indicar acierto, sino desacierto.

3.Realizar un diagrama de flujo donde se indique cuál de dos números es el mayor.

Ejercicios con diagramas de flujo

1. Se pide leer tres notas del alumno, calcular su definitiva en un rango de 0-5 y enviar un mensaje donde diga si el alumno aprobó o reprobó el curso.

2. Se desea escribir un algoritmo que pida la altura de una persona, si la altura es menor o igual a 150 cm envíe el mensaje: Persona de altura baja; si la altura está entre 151 y 170 escriba el mensaje: Persona de altura media y si la altura es mayor al 171 escriba el mensaje: Persona alta.

3. Dados N valores, diseñe un algoritmo que haga el siguiente proceso:

Si el valor es menor que cero calcular su cubo.

Si el valor está entre 0 y 100 calcular su cuadrado.

Si el valor está entre 101 y 1000 calcular su raíz cuadrada.

4. Elaborar un algoritmo que muestre los enteros desde 1 hasta N y sus cuadrados, calculados solamente con sumas.

5. Partiendo de la función Y = 7X!, elaborar un algoritmo que calcule todos los posibles valores de Y, sabiendo que X puede tomar el valor de cualquier múltiplo entero de 7 en el rango [0,1000].

6. Un vendedor desea calcular la comisión total sobre la venta de varios artículos. Al vendedor le corresponde el 10% de comisión sobre artículos, cuyo precio es menor o igual a $1.000 y el 7% de comisión sobre aquellos artículos cuyo precio sea mayor de $1.000. Elabore un algoritmo para obtener la comisión total, si se conoce que el vendedor hizo N ventas.

7. Se desea obtener el promedio de notas de N grupos que están en un mismo año escolar, sabiendo que cada grupo puede tener M alumnos, cada alumno puede cursar K materias y en todas las asignaturas se promedian tres calificaciones. Hacer un algoritmo que calcule el promedio de cada alumno, el promedio de cada grupo y el promedio de los grupos.

8. Hacer un algoritmo que ordene ascendentemente los números N1, N2, N3, N4, N5 ingresados por un usuario.

9. Dados 3 números, deducir cuál es el central.

10. Calcular la raíz cuadrada de un número y escribir su resultado.

11. Determinar el precio de un billete de ida y vuelta en bus, conociendo la distancia a recorrer y sabiendo que si el número de días de estancia es superior a siete y la distancia superior a 800 kilómetros, el billete tiene una reducción del 30%. El precio por kilómetro es de $250.

12. Se desea realizar una estadística de los pesos de los alumnos de un colegio de acuerdo a la siguiente tabla:
Alumnos menos 40 kg
Alumnos entre 40 kg y 50 kg
Alumnos entre 50 kg y 60 kg
Alumnos superior a 60 kg
La entrada de los pesos de los alumnos se terminará cuando se introduzca el valor -99. Se desea obtener cuántos alumnos hay en cada una de las filas.

13. Hacer un diagrama de flujo y escribir un pseudocódigo para el acto de lavar los platos de una comida.

14. Hacer un diagrama de flujo y escribir un pseudocódigo para realizar una llamada telefónica desde un teléfono público.

15. Hacer un diagrama de flujo y escribir un algoritmo que calcule la superficie de un triángulo en función de su base y su altura.

16. Hacer un diagrama de flujo y escribir un pseudocódigo que permita emitir la factura correspondiente a una compra de un artículo determinado del que se adquieren una o varias unidades. El IVA a aplicar es del 19% y si el precio bruto (precio venta * (1 + IVA)) es mayor a $100000, se aplicará un descuento del 5%.

La adopción tecnológica: entre dos paradigmas de simulación

La simulación se ha convertido en una herramienta computacional fundamental para entender los procesos. Explora el siguiente enlace para conocer como dos formas diferentes de simulación generan el mismo resultado.

https://gestainnovacion.blogspot.com/2019/12/la-adopcion-tecnologica-entre-dos.html

Explora el blog http://gtinnovacion.blogspot.com/2017/09/entendiendo-la-innovacion-un-modelo-de.html donde encontraras el modelo simulable de este fenomeno.

La innovación en Antioquia estudiada mediante la simulación basada en agentes

Explora el siguiente vínculo para conocer conceptualmente el abordaje de la innovación en estructuras regionales aplicando procesos de simulación y herramientas computacionales, para representar fenómenos sociales.

https://gestainnovacion.blogspot.com/2019/12/la-innovacion-en-antioquia-estudiada.html

Explora el blog http://gtinnovacion.blogspot.com/ para conocer más acerca de Gestión Tecnológica, Innovación y los procesos.

Modelos de halving para bitcoin: un acercamiento desde la simulación

Explora el siguiente vínculo para conocer como la simulación de sistemas puede aplicarse a procesos de criptomonedas.

https://gestainnovacion.blogspot.com/2019/12/modelos-de-halving-para-bitcoin-un.html